Amérique du Nord, mai 2022

Partie A

Soit \(p\)  la fonction définie sur l’intervalle  \([-3\; ; 4]\) par :  \(p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\) .

1. Déterminer les variations de la fonction  \(p\) sur l’intervalle \([-3\; ; 4]\) .

2. Justifier que l’équation \(p(x) = 0\) admet dans l’intervalle \([-3 \;; 4]\) une unique solution qui sera notée \(\alpha\) .

3. Déterminer une valeur approchée du réel  \(\alpha\) au dixième près.

4. Donner le tableau de signes de la fonction  \(p\) sur l’intervalle \([-3\; ; 4]\) .

Partie B

Soit  \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([-3\;; 4]\) par :  \(f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x^2}\) .
On note  \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. a. Déterminer la dérivée de la fonction  \(f\) sur l’intervalle \([-3\; ; 4]\) .

    b. Justifier que la courbe  \(C_f\) admet une tangente horizontale au point d’abscisse \(1\) .

2. Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe \(C_f\)  comme profil d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d’inflexion.

    a. D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
    b. On admet que la fonction \(f^{\prime{\prime}}\) , dérivée seconde de la fonction \(f\) , a pour expression pour tout réel  \(x\) de l’intervalle  \([-3\;; 4]\) :  \(f^{\prime{\prime}}(x)=\dfrac{p(x)(x-1){e}^{x}}{(1+x^2)^3}\)  où \(p\) est la fonction définie dans la partie \(A\) . En utilisant l’expression précédente de \(f^{\prime{\prime}}\) , répondre à la question : « Le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.